EJERCICIO DE OPTIMIZACIÓN

OPTIMIZACIÓN

En esta entrada voy a hacer un ejercicio de optimización (derivadas) de la PAU de 2013.  El dos de la opción B de Junio. Para ello voy a hacerlos siguiendo los siguientes pasos:

1º- Primero recopilamos los datos y lo que pide el problema.

2º- Hacemos un dibujo de la figura mencionada en el problema.

3º- Presentamos las funciones y las ecuaciones necesarias usando los datos previamente recopilado.

4º- Despejamos una incógnita en la ecuación y la sustituimos en la  función (solo si tenemos dos incógnitas).

5º- Derivamos la función y la igualamos a 0 para hallar la primera incógnita.

6º- Sustituimos la incógnita en la ecuación para hallar la segunda incógnita. 

7º- En caso de obtener dos o más resultados en una de las incógnita. Estudiar cuál valor minimiza o maximiza la función sustituyendo dichos valores en su segunda derivada. Si f"(x) > 0, hay mínimo, si f(x) < 0, hay máximo. 

 

    

 1º-Datos.

Perímetro Rectángulo=100.

Vértices del rombo en los puntos medios de los lados del rectángulo.

Piden: Lados del rectángulo.

2º-Dibujo.

3º-Función y ecuación.

Si nos damos cuenta de lo señalado en el dibujo no nos tendremos que saber el área del rombo ya que podremos deducir que si desplazamos los  triángulos de una de las mitades del rombo. El área del rombo será la mitad del área del rectángulo. Y sabiendo que el área de un rectángulo es el producto de la base (y) por la altura (x) queda una función área parecida a:

El perímetro de un rectángulo es la suma de todos sus lados, con este dato sacaremos la ecuación restante. Quedando que:

4º-Despejar y sustituir.

Primero despejamos cualquiera de las incógnitas en la ecuación perímetro, en mi caso voy a despejar la x.

Sustituimos x en la función área:

5º-Derivada y primera incógnita.

Derivamos la función A(x).

Igualamos la función a cero para hallar la y. 

6º-Segunda incógnita.

Ahora sustituimos en la ecuación perímetro la incógnita y.

Conclusión: Para que el área del rombo sea máxima la base y la altura del rectángulo deben medir ambos lo mismo, x=25 e y=25. Dando como resultado un cuadrado.

WEBGRAFÍA

Tabla de derivadas:

http://www.ugr.es/~fmartin/dvi/derivadas.pdf 

Editor de ecuaciones usado:

http://www.alciro.org/tools/matematicas/editor-ecuaciones.jsp

Examen PAU Junio 2013:

https://www.gobiernodecanarias.org/cmsweb/export/sites/educacion/web/bachillerato/_galerias/descargas/pau/examenes_2013/junio_2013/MATEMATICAS_II_JUNIIO_13.pdf